"Enačbe matematične fizike" - tečaj 2800 rub. iz MSU, usposabljanje 15 tednov. (4 meseci), datum: 30. november 2023.
Miscellanea / / December 02, 2023
Tečaj je namenjen diplomantom, magistrom in specializantom matematike, inženirstva ali naravoslovja ter univerzitetnim učiteljem. Namen predmeta je uvesti študenta v vrsto klasičnih vprašanj s področja enačb z matematično fiziko in naučiti študenta osnovnih metod preučevanja tovrstnih enačb. Predmet zajema klasično gradivo enačb matematične fizike (parcialnih diferencialnih enačb) v okviru enega semestra študija. Razdelki "Linearne in kvazilinearne enačbe prvega reda", "Klasifikacija linearnih enačb", "Valna enačba", “Parabolična enačba”, “Temeljne rešitve”, “Laplaceova enačba” Seznanili se bomo s klasičnimi formulacijami problemov - Cauchyjev problem, problem meje. Obvladajmo osnovne metode preučevanja enačb – direktno integracijo, metodo nadaljevanja rešitev, Fourierjevo metodo, metodo fundamentalnih rešitev, metodo potencialov. Pogosto se bomo spominjali izpeljave teh enačb v problemih matematične fizike in meje uporabnosti naših modelov.
Oblika študija
Dopisni tečaji z uporabo tehnologij učenja na daljavo
Pogoji za sprejem
Razpoložljivost VO ali SPO
2
sevedaDoktor fizikalnih in matematičnih znanosti, profesor Položaj: profesor na oddelku za temeljno in uporabno matematiko Fakultete za vesoljske raziskave Moskovske državne univerze po imenu M.V. Lomonosov
1. Prvo srečanje.
Uvodna beseda. Osnovni principi dela z enačbami matematične fizike. Primeri preprostih enačb. Razvrstitev. Reševanje preprostih enačb z redukcijo na navadne diferencialne enačbe. Zamenjava spremenljivk v enačbi.
2. Enačbe prvega reda – linearne in kvazilinearne.
Linearne enačbe. Iskanje ustrezne zamenjave - sestavljanje in reševanje sistema navadnih diferencialnih enačb prvega reda. Prvi integrali sistema. Značilnosti. Kvazilinearne enačbe. Iskanje rešitve v implicitni obliki.
3. Cauchyjeva težava. Klasifikacija linearnih enačb drugega reda.
Postavitev Cauchyjevega problema. Izrek o obstoju in edinstvenosti rešitve Cauchyjevega problema. Klasifikacija linearnih enačb drugega reda s konstantnimi koeficienti. Redukcija na kanonično obliko.
4. Hiperbolične, parabolične in eliptične enačbe.
Klasifikacija linearnih enačb drugega reda s spremenljivimi koeficienti na ravnini. Hiperbolični, parabolični in eliptični tip. Reševanje hiperboličnih enačb. Problemi z začetnimi in robnimi pogoji.
5. Enačba niza.
Enodimenzionalna valovna enačba na celotni osi. Val naprej in nazaj. d'Alembertova formula. Duhamelov integral. Robni pogoji za enačbo na pol osi. Osnovni tipi robnih pogojev. Nadaljevanje rešitve. Primer končnega segmenta.
6. Fourierjeva metoda z uporabo enačbe niza kot primera.
Ideja Fourierjeve metode. Prvi korak je najti osnovo. Drugi korak je pridobivanje navadnih diferencialnih enačb za Fourierjeve koeficiente. Tretji korak je upoštevanje začetnih podatkov. Konvergenca nizov.
7. Difuzijska enačba (končni segment).
Izpeljava enačbe. Postavitev problemov (začetni in robni pogoji). Fourierjeva metoda. Upoštevanje desne strani in nehomogenosti v robnih pogojih. Konvergenca nizov.
8. Difuzijska enačba (cela os).
Fourierjeva transformacija, inverzijska formula. Reševanje enačbe s Fourierjevo transformacijo. Izrek – utemeljitev metode (dva primera). Poissonova formula. Primer enačbe z desno stranjo.
9. Generalizirane funkcije.
Zapis Poissonove formule kot konvolucije. Zapis v obliki konvolucije rešitve toplotne enačbe na končnem segmentu. razred Schwartz. Primeri funkcij iz razreda. Definicija posplošenih funkcij, povezava s klasičnimi funkcijami. Množenje posplošene funkcije z osnovno funkcijo, diferenciacija. Konvergenca posplošenih funkcij. Primeri generičnih funkcij.
10. Delo z generičnimi funkcijami.
Reševanje navadnih diferencialnih enačb v posplošenih funkcijah. Fourierjeva transformacija posplošenih funkcij. Konvolucija. Neposredni izdelek. Nosilec generalizirane funkcije. Reševanje nehomogene enodimenzionalne toplotne enačbe z uporabo temeljne rešitve. Fundamentalna rešitev navadnega diferencialnega operatorja na intervalu.
11. Temeljne rešitve.
Izpeljava Poissonove formule za večdimenzionalno toplotno enačbo. Izpeljava Kirkhoffove formule. Izpeljava Poissonove formule za valovno enačbo. Reševanje nalog z metodo ločevanja spremenljivk, metodo superpozicije.
12. Laplaceova enačba.
Izpeljava Laplaceove enačbe. Vektorsko polje – potencial, tok skozi površino. Volumen potencial. Potencial enostavne plasti. Potencial dvojne plasti. Logaritemski potencial.
13. Dirichletov problem, Neumannov problem in Greenova funkcija.
Harmonične funkcije. Načelo šibkega ekstrema. Harnackov izrek. Načelo strogega maksimuma. Izrek o edinstvenosti. Izrek o srednji vrednosti. Neskončna gladkost. Liouvillov izrek. Greenova formula. Greenova funkcija, njene lastnosti. Rešitev Poissonovega problema z Dirichletovimi pogoji z uporabo Greenove funkcije. Drugi problemi mejne vrednosti. Konstrukcija Greenove funkcije z refleksijsko metodo.
14. Večdimenzionalna Fourierjeva metoda.
Reševanje problemov s Fourierjevo metodo. Različni robni pogoji. Besselove funkcije. Legendrov polinom. Pregled opravljenega tečaja. Povzemanje.