Analitična geometrija - brezplačen tečaj Open Education, usposabljanje 13 tednov, približno 5 ur na teden, datum 29. november 2023.

Nagrade in dosežki Nagrada ruske vlade na področju izobraževanja za leto 2010, zasluženi učitelj MIPT.

Tečaj obsega 12 tednov usposabljanja in en izpitni teden

1. teden Matrike

01.00 Uvod

01.01 Definicija matrice

01.02 Operacije z matrikami

01.02.01 Problem. Izračun linearne kombinacije matrik

02/01/02 Težava. Iskanje transponirane matrike

01.03 Izdelki matrik. 1. del

01.04 Izdelki matrik. 2. del

01.04.01 Težava. Računanje produkta matrik

04/01/02 Težava. Preverjanje obstoja izdelka in njegov izračun 

04/01/03 Težava. Računanje matrike na n-to potenco. Primer 1

04/01/04 Težava. Računanje matrike na n-to potenco. Primer 2

04/01/05 Težava. Izračun matričnega polinoma

04/01/06 Težava. Preverjanje veljavnosti matrične enakosti

04/01/07 Težava. Računanje matrike na numerično potenco

01.05 Matrična determinanta

01.05.01 Problem. Izračun determinante matrike

01.06 Cramerjevo pravilo

01.06.01 Težava. Reševanje sistema linearnih enačb po Cramerjevi metodi

2. teden Vektorji

02.01 Določitev usmerjenega odseka, vektor

02.02 Ponavljanje šolskega predmeta geometrije 

02.02.01 Problem. Dokaz neenakosti za štirikotnik v prostoru

02.02.02 Problem. Dokaz enakosti za n-kotnik

02.03 Linearna kombinacija vektorjev

02.04 Linearna odvisnost in neodvisnost vektorjev 

02.05 Kriterij linearne odvisnosti sistema vektorjev

02.06 Osnova

02.06.01 Problem. Iskanje vektorskih koordinat

02.06.02 Problem. Iskanje koordinat paralelopipeda s pomočjo vektorjev

02.07 Zamenjava podlage

07/02/01 Težava. Iskanje koordinat točke prizme v novem koordinatnem sistemu

07/02/02 Težava. Iskanje koordinat točke paralelograma v novem koordinatnem sistemu

02.08 Kartezični koordinatni sistem (DCS)

02.08.01 Problem. Preverjanje, ali vektorji tvorijo osnovo

02.09 Zamenjava ODSC

02.09.01 Problem. Iskanje koordinat izhodišča in baznih vektorjev v novem in starem koordinatnem sistemu

02.09.02 Problem. Iskanje koordinat vektorja v novi osnovi preko koordinat v stari

3. teden Produkt vektorjev

03.01 Točkovni produkt vektorjev

03.02 Projekcija vektorja na neničelni vektor

03.03 Lastnosti skalarnega produkta vektorjev. 1. del

03.04 Lastnosti skalarnega produkta vektorjev. 2. del

04/03/01 Težava. Iskanje dolžin stranic in kotov paralelograma z uporabo baznih vektorjev

04/03/02 Težava. Iskanje pravokotne projekcije vektorja na premico

03.05 Usmeritev baz. Usmerjeni volumni in površine

03.06 Mešani produkt vektorjev. 1. del

03.07 Mešani produkt vektorjev. 2. del

03.08 Vektorski produkt vektorjev. 1. del

03.09 Vektorski produkt vektorjev. 2. del

03.09.01 Problem. Dokaz koplanarnosti vektorjev

03.09.02 Problem. Iskanje območja trikotnika z vektorskimi koordinatami

09/03/03 Težava. Dokaz enakosti za nekolinearne vektorje

09/03/04 Težava. Iskanje prostornine tetraedra in njegove višine

03.10 Dvojni križni zmnožek

03.10.1 Težava. Dokazilo o identiteti

03.11 Vzajemno

4. teden 1. del. Letalo v vesolju

04.01 Definicija ravnine v prostoru

04.02 Različne oblike zapisovanja enačbe ravnine

04.03 Splošna enačba ravnine

04.03.01 Problem. Enačba ravnine

4. teden 2. del. Naravnost na letalu. Premica in ravnina v prostoru

04.04 Premica na ravnini

04.04.01 Problem. Iskanje vektorja radija točke

04.04.02 Problem. Pogoji za presečišče, vzporednost in pravokotnost premic v ravnini

04.05 Splošna enačba premice na ravnini. Ravna črta v prostoru

04.05.01 Problem. Iskanje vektorja radija presečišča črt

04.05.02 Problem. Enačba premice, ki seka dve poševni premici

04.05.03 Problem. Enačba premice, ki poteka skozi točko in je vzporedna z drugo premico

04.05.04 Problem. Pogoj za presečišče premice in ravnine

04.06 Medsebojna razporeditev premic in ravnin

06/04/01 Težava. Enačba ravnine, ki poteka skozi točko in je vzporedna z dvema premicama

06/04/02 Težava. Enačba ravnine, ki poteka skozi eno premico in je vzporedna z drugo premico

04.07 Premica in ravnina v PDSC

04.07.01 Problem. Enačba premic, ki potekajo skozi eno točko in so enako oddaljene od dveh drugih točk

04.07.02 Problem. Enačba simetrale kota med premicama

04.08 Nekaj ​​metričnih problemov v PDSC. 1. del

04.08.01 Problem. Enačba premic, ki so vzporedne z drugo premico in ločene od točke na določeni razdalji

04.08.02 Problem. Splošna enačba ravnine, ki poteka skozi točko in premico. Razdalja od te ravnine do dane točke

04.09 Nekaj ​​metričnih problemov v PDSC. 2. del

04.09.01 Problem. Razdalja med črtami

5. teden. Algebraične premice drugega reda na ravnini

05.01 Definicija algebraičnih premic in ploskev

05.02 Črte drugega reda na ravnini. Enačba elipse

05.03 Enačba namišljene elipse, para namišljenih sekajočih se premic, hiperbole, para sekajočih se premic

05.04 Enačba parabole, pari vzporednih premic, pari namišljenih vzporednih premic, pari ujemajočih se premic

05.05 Središče črte. Eliptične in hiperbolične črte

05.05.01 Problem. Vrsta krivulje drugega reda, definirana z neko enačbo. Kanonična enačba krivulje in kanonični koordinatni sistem. Primer 1

05.05.02 Problem. Vrsta krivulje drugega reda, definirana z neko enačbo. Kanonična enačba krivulje in kanonični koordinatni sistem. Primer 2

05.05.03 Problem. Vrsta krivulje drugega reda, definirana z neko enačbo. Kanonična enačba krivulje in kanonični koordinatni sistem. Primer 3

6. teden Preučevanje lastnosti elipse, hiperbole in parabole

06.01 Elipsa

01/06/01 Težava. Kanonična enačba elipse

06.02 Lastnosti elipse

06.03 Enačba tangente na elipso

03/06/01 Težava. Enačba tangent na elipso

03/06/02 Težava. Kot med tangento in osjo Ox

06.04 Hiperbola

04/06/01 Težava. Ekscentričnost hiperbole

06.05 Geometrijske lastnosti hiperbole

05/06/01 Težava. Dokaz nespremenljivosti produkta razdalje od katere koli točke hiperbole do njenih asimptot

06.06 Parabola

06.06.01 Problem. Enačba parabole

06.06.02 Problem. Enačbe tangent na parabolo

06.07 Elipsa, hiperbola in parabola v polarnem koordinatnem sistemu

7. teden Površina drugega reda

07.01 Vrtilna površina

07.02 Elipsoid

07.03 Stožec drugega reda

07.04 Enolistni hiperboloid

07.05 Premočrtni generatorji enolistnega hiperboloida

07.06 Dvolistni hiperboloid, eliptični in hiperbolični paraboloid

06/07/01 Težava. Določitev vrste površine

06/07/02 Težava. Skupne točke premice in ploskev drugega reda

06/07/03 Težava. Parametrične enačbe premočrtnih generatorjev dane površine

06/07/04 Težava. Vrsta površine, ki nastane z vrtenjem ravne črte

8. teden Preslikave in transformacije

08.01 Definicija preslikave in transformacije

08.02 Kartiranje ena na ena. Produkt preslikav

08.03 Lastnosti produkta ravninskih transformacij. Koordinatni zapis preslikav

08.04 Transformacije pravokotnih ravnin

08.05 Linearne in afine transformacije

08.06 Slika vektorja med linearno transformacijo. 1. del

08.07 Slika vektorja med linearno transformacijo. 2. del

08.08 Geometrijske lastnosti afinih transformacij

08.08.01 Problem. Simetrija glede ravne črte

08.08.02 Problem. Afina transformacija ravnine, ki prevzame dane premice vase in dano točko v neko drugo točko

08.09 Spreminjanje območij med afino transformacijo

08.10 Slike črt drugega reda pri afini transformaciji

08.10.01 Težava. Vrsta krivulje drugega reda

08.10.02 Problem. Dokaz enakosti vsot ploščin trikotnikov

08.11 Razgradnja afine transformacije

08.11.01 Problem. Predstavitev dane afine transformacije kot produktov treh transformacij

9. teden Determinante matrik n-tega reda

09.01 Determinante

01/09/01 Težava. Determinanta reda št. Primer 1

01/09/02 Težava. Determinanta reda št. Primer 2

09.02 Lastnosti determinant. 1. del

09.03 Lastnosti determinant. 2. del

09.04 Lastnosti determinant. 3. del

04/09/01 Težava. Vandermonde determinanta

04/09/02 Težava. Determinanta reda 2n

09.05 Formula za popoln razvoj determinante

05/09/01 Težava. Popolna dekompozicijska formula za matriko petega reda

09.06 SLAU v posebnem primeru

09.07 Cramerjevo pravilo v splošnem primeru

10. teden Matrični rang

10.01 Mladoletniki poljubnega reda

10.02 Matrični rang

02/10/01 Težava. Sistem rangov in baz matričnih stolpcev

02/10/02 Težava. Ocenjevanje ranga matrike reda n

02/10/03 Težava. Dokaz neenakosti ranga za vse matrike enake velikosti

02/10/04 Težava. Neničelni minor reda r matrike ranga r

02/10/05 Težava. Matrična ocena ranga

10.03 Zmanjšanje matrike na poenostavljeno obliko

10.04 Gaussova metoda

10.05 Bazični manjši izrek

05/10/01 Težava. Predstavitev matrike skozi produkt matrik

10.06 Izrek o rangu matrike

06/10/01 Težava. Zgornja meja za rang produkta dveh matrik

06/10/02 Težava. Dokaz enakosti ranga matrike najvišjemu redu njenih minorov

11. teden inverzna matrika

11.01 Definicija inverzne matrike

11.02 Izražanje elementov inverzne matrike skozi elemente izvirne matrike

 02/11/01 Težava. Izračun inverzne matrike. Primer 1

02/11/02 Težava. Iskanje inverzne matrike. Primer 2

11.03 Lastnosti inverzne matrike

03/11/01 Težava. Preverjanje veljavnosti identitete za matrike

11.04 Še en dokaz obstoja inverzne matrike za nesingularno kvadratno matriko

11.05 Karakteristični polinom matrike

05/11/01 Težava. inverzna matrika

11.06 Hamilton-Cayleyev izrek

11.07 Elementarne transformacije kot množenje matrik

07/11/01 Težava. Izračun inverzne matrike z elementarnimi transformacijami. Primer 1

07/11/02 Težava. Iskanje inverzne matrike. Primer 2

12. teden Splošna teorija linearnih sistemov

12.01 Kronecker-Capellijev izrek

12.02 Fredholmov izrek

12.03 Splošna rešitev nehomogenih SLAE

12.04 Fundamentalna matrika homogenega SLAE. 1. del

12.05 Fundamentalna matrika homogenega SLAE. 2. del

05.12.01 Problem. Osnovna matrika SLAE

05.12.02 Težava. Preverjanje osnovne matrike SLAE

05.12.03 Težava. Rešitev SLAE

05.12.04 Problem. Splošni pogled na poljubno temeljno matriko SLAE

05/12/05 Težava. Pogoj enakovrednosti za SLAE

12.06 Splošna rešitev nehomogenih SLAE

06/12/01 Težava. Rešitev SLAE

06.12.02 Problem. Združljivost heterogenih SLAE

13. teden končni izpit